„Apollonian Gasket“yra fraktalinio vaizdo tipas, susidarantis iš vis mažėjančių apskritimų, esančių viename dideliame apskritime. Kiekvienas Apolono tarpinės apskritimas liečia gretimus apskritimus - kitaip tariant, Apolono tarpinės apskritimai liečiasi be galo mažuose taškuose. Šis fraktalo tipas, pavadintas graikų matematiko Apolonijaus Pergos vardu, gali būti nupieštas (ranka ar kompiuteriu) iki pagrįsto sudėtingumo, sukuriant gražų, įspūdingą vaizdą. Norėdami pradėti, žiūrėkite 1 veiksmą.
Žingsniai
1 dalis iš 2: Suprasti pagrindines sąvokas
Kad būtų visiškai aišku, jei jus tiesiog domina piešti „Apollonian Gasket“, nebūtina tirti fraktalo matematikos principų. Tačiau, jei norite giliau suprasti „Apollonian Gaskets“, svarbu suprasti kelių sąvokų, kurias naudosime aptardami, apibrėžimus.
Žingsnis 1. Apibrėžkite pagrindinius terminus
Toliau pateiktose instrukcijose naudojami šie terminai:
- Apolono tarpinė: vienas iš kelių fraktalo tipo pavadinimų, sudarytų iš apskritimų, išdėstytų viename dideliame apskritime, ir liečia visus kitus netoliese esančius apskritimus. Jie taip pat vadinami „Soddy Circles“arba „Kissing Circles“.
- Apskritimo spindulys: atstumas nuo apskritimo centro taško iki jo krašto. Paprastai priskiriamas kintamasis r.
- Apskritimo kreivumas: teigiamas arba neigiamas atvirkštinis spindulys arba ± 1/r. Kreivumas yra teigiamas, kai sprendžiamas išorinis apskritimo kreivumas, o neigiamas - vidinis.
- Tangentas: terminas, taikomas linijoms, plokštumoms ir formoms, kurios susikerta viename be galo mažame taške. Apolono tarpikliuose tai reiškia, kad kiekvienas apskritimas paliečia kiekvieną šalia esantį apskritimą tik viename taške. Atkreipkite dėmesį, kad nėra sankryžos - liestinės formos nesutampa.
Žingsnis 2. Supraskite Dekarto teoremą
Dekarto teorema yra formulė, kuri naudinga apskaičiuojant apskritimų dydžius Apolono tarpinėje. Jei bet kurio trijų apskritimų kreivumą (1/r) apibrėžiame atitinkamai kaip a, b ir c, teorema teigia, kad apskritimo (arba apskritimų) kreivumas, liečiantis visus tris, kuriuos apibrėžsime kaip d, yra: d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a)).
Mūsų tikslams paprastai naudosime tik tą atsakymą, kurį gavome pridėję pliuso ženklą prieš kvadratinę šaknį (kitaip tariant,… + 2 (kv. (…))). Kol kas pakanka žinoti, kad atimtis lygties forma gali būti naudojama atliekant kitas susijusias užduotis
2 dalis iš 2: Apolono tarpiklio konstravimas
„Apollonian Gaskets“yra gražių trapių susitraukiančių apskritimų išdėstymo forma. Matematiškai „Apollonian“tarpinės yra be galo sudėtingos, tačiau, nesvarbu, ar naudojate kompiuterinę piešimo programą, ar tradicines piešimo priemones, galų gale pasieksite tašką, kuriame neįmanoma nupiešti mažesnių apskritimų. Atminkite, kad kuo tiksliau nupiešite savo apskritimus, tuo daugiau galėsite tilpti į tarpiklį.
Žingsnis 1. Surinkite skaitmeninio ar analoginio piešimo įrankius
Atlikdami toliau nurodytus veiksmus, mes pagaminsime savo paprastą „Apollonian“tarpiklį. Galima piešti „Apollonian Gaskets“rankomis arba kompiuteriu. Bet kuriuo atveju norėsite piešti tobulai apvalius apskritimus. Tai gana svarbu. Kadangi kiekvienas apskritimas Apolono tarpinėje puikiai liečia šalia esančius apskritimus, apskritimai, kurie yra net šiek tiek netinkamai suformuoti, gali „išmesti“galutinį produktą.
- Jei piešiate tarpiklį kompiuteryje, jums reikės programos, leidžiančios lengvai piešti fiksuoto spindulio apskritimus iš centrinio taško. Galima naudoti nemokamos vaizdų redagavimo programos „GIMP“vektorinio piešimo plėtinį „Gfig“, taip pat daugybę kitų piešimo programų (atitinkamas nuorodas rasite medžiagų skyriuje). Jums taip pat tikriausiai reikės skaičiuoklės programos ir teksto rengyklės dokumento arba fizinio bloknoto, kad galėtumėte užsirašyti kreivumą ir spindulį.
- Norėdami piešti tarpiklį rankomis, jums reikės skaičiuotuvo (siūlomo mokslinio ar grafinio), pieštuko, kompaso, liniuotės (pageidautina skalė su milimetro žymėmis, grafinis popierius ir užrašų knygelė.
Žingsnis 2. Pradėkite nuo vieno didelio apskritimo
Pirmoji jūsų užduotis lengva - tiesiog nupieškite vieną didelį, visiškai apvalų apskritimą. Kuo didesnis apskritimas, tuo sudėtingesnis gali būti jūsų tarpiklis, todėl pabandykite padaryti apskritimą tiek, kiek leidžia jūsų popierius, arba tokį, kokį galite lengvai pamatyti viename piešimo programos lange.
Žingsnis 3. Sukurkite mažesnį apskritimą originalo viduje, paliesdami vieną pusę
Tada pirmojo viduje nupieškite kitą apskritimą, kuris yra mažesnis už originalą, bet vis tiek gana didelis. Tikslus antrojo apskritimo dydis priklauso nuo jūsų - nėra teisingo dydžio. Tačiau savo tikslams nubrėžkime antrąjį apskritimą taip, kad jis pasiektų tiksliai pusę mūsų didžiojo išorinio apskritimo. Kitaip tariant, nubrėžkime antrąjį apskritimą taip, kad jo centrinis taškas būtų didžiojo apskritimo spindulio vidurio taškas.
Atminkite, kad Apolono tarpikliuose visi susiliečiantys apskritimai liečia vienas kitą. Jei piešdami ratus rankomis naudojate kompasą, atkurkite šį efektą, aštrų kompaso tašką padėdami į didelio išorinio apskritimo spindulio vidurį, sureguliuodami pieštuką taip, kad jis tik liestų didelio apskritimo kraštą, tada nupieškite mažesnį vidinį ratą
Žingsnis 4. Nubrėžkite identišką apskritimą „priešais“mažesnį vidinį apskritimą
Tada nubrėžkime kitą apskritimą nuo pirmojo. Šis apskritimas turėtų liesti ir didįjį išorinį apskritimą, ir mažesnį vidinį apskritimą, o tai reiškia, kad du jūsų vidiniai apskritimai liesis tiksliai didelio išorinio apskritimo viduryje.
Žingsnis 5. Taikykite Dekarto teoremą, kad surastumėte kitų ratų dydį
Akimirkai nustokime piešti. Dabar, kai mūsų tarpinėje yra trys apskritimai, galime naudoti Dekarto teoremą, kad surastume kito apskritimo, kurį nupiešime, spindulį. Atminkite, kad Dekarto teorema yra d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a)), kur a, b ir c yra jūsų trijų liestinių apskritimų kreivės, o d - apskritimo, liečiančio visus tris, kreivumas. Taigi, norėdami rasti kito mūsų apskritimo spindulį, suraskime kiekvieno iki šiol turėto apskritimo kreivumą, kad galėtume rasti kito apskritimo kreivumą, tada konvertuokime jį į jo spindulį.
-
Apibrėžkime išorinio apskritimo spindulį kaip
1 žingsnis.. Kadangi kiti apskritimai yra šio apskritimo viduje, mes sprendžiame jo vidinį kreivumą (o ne išorinį kreivumą), todėl žinome, kad jo kreivumas yra neigiamas. -1/r = -1/1 = -1. Didžiojo apskritimo kreivumas yra - 1.
-
Mažesnių apskritimų spinduliai yra perpus didesni už didžiojo apskritimo spindulius arba, kitaip tariant, 1/2. Kadangi šie apskritimai liečia vienas kitą ir didelį apskritimą išoriniu kraštu, mes sprendžiame jų išorinį kreivumą, todėl jų kreivės yra teigiamos. 1/(1/2) = 2. Mažesnių apskritimų kreivės yra abi
2 žingsnis..
-
Dabar mes žinome, kad a = -1, b = 2 ir c = 2 mūsų Dekarto teoremos lygčiai. Išspręskime d:
- d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kv. (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kv. (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Mūsų kito apskritimo kreivumas yra
3 žingsnis.. Kadangi 3 = 1/r, mūsų kito apskritimo spindulys yra 1/3.
6. Sukurkite kitą draugų ratų rinkinį
Naudodami ką tik rastą spindulio reikšmę nubrėžkite kitus du apskritimus. Atminkite, kad jie liestis su apskritimais, kurių kreivumą naudojote a, b ir c Dekarto teoremoje. Kitaip tariant, jie lies ir pradinį, ir antrąjį apskritimus. Kad šie apskritimai liestų visus tris apskritimus, turėsite juos nubrėžti atvirose erdvėse, esančiose didžiojo pradinio apskritimo srities viršuje ir apačioje.
Atminkite, kad šių apskritimų spinduliai bus lygūs 1/3. Išmatuokite 1/3 atgal nuo išorinio apskritimo krašto, tada nubrėžkite naują apskritimą. Jis turėtų liesti visus tris aplinkinius apskritimus
Žingsnis 7. Tęskite taip ir toliau pridėkite draugų ratus
Kadangi jie yra fraktalai, Apolono tarpinės yra be galo sudėtingos. Tai reiškia, kad prie savo širdies turinio galite pridėti vis mažesnių draugų ratų. Jūs ribojate tik savo įrankių tikslumą (arba, jei naudojate kompiuterį, piešimo programos galimybę „priartinti“). Kiekvienas apskritimas, kad ir koks jis būtų mažas, turėtų liesti tris kitus apskritimus. Norėdami nupiešti kiekvieną kitą tarpą tarpinėje, įkiškite trijų apskritimų, kuriuos jis palies, kreivumą į Dekarto teoremą. Tada naudokite savo atsakymą (kuris bus jūsų naujo apskritimo spindulys), kad tiksliai nubrėžtumėte naują ratą.
- Atkreipkite dėmesį, kad tarpiklis, kurį pasirinkome piešti, yra simetriškas, todėl vieno apskritimo spindulys yra toks pat kaip atitinkamo apskritimo „priešais jį“. Tačiau žinokite, kad ne kiekviena Apolono tarpinė yra simetriška.
-
Paimkime dar vieną pavyzdį. Tarkime, nupiešę paskutinį apskritimų rinkinį, dabar norime nupiešti apskritimus, kurie liečia mūsų trečiąjį, antrąjį ir didelį išorinį apskritimą. Šių apskritimų kreivės yra atitinkamai 3, 2 ir -1. Prijunkime šiuos skaičius prie Dekarto teoremos, nustatydami a = -1, b = 2 ir c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (kv. (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kv. (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kv. (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kv. (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Mes turime du atsakymus! Tačiau kadangi žinome, kad mūsų naujas apskritimas bus mažesnis už apskritimus, kuriuos jis liečia, tik kreivė
6 žingsnis. (taigi ir spindulys 1/6) logiška.
- Kitas mūsų atsakymas, 2, iš tikrųjų reiškia hipotetinį apskritimą kitoje mūsų antrojo ir trečiojo apskritimų liestinės taško pusėje. Šis ratas yra liesti abu šiuos apskritimus ir didelį išorinį apskritimą, tačiau jis susikertų apskritimus, kuriuos jau nupiešėme, todėl galime į tai nekreipti dėmesio.
8. Norėdami išspręsti problemą, pabandykite padaryti nesimetrišką Apolono tarpiklį, pakeisdami antrojo apskritimo dydį
Visos Apolono tarpinės prasideda vienodai - su dideliu išoriniu apskritimu, kuris veikia kaip fraktalo kraštas. Tačiau nėra jokios priežasties, kad jūsų antrasis apskritimas būtinai turi būti 1/2 spindulio nuo pirmojo - mes tiesiog nusprendėme tai padaryti aukščiau, nes tai paprasta ir lengva suprasti. Pramogoms pabandykite pradėti naują tarpiklį, kurio antrasis apskritimas yra kitokio dydžio - tai suteiks naujų įdomių tyrinėjimo būdų.
