Racionalioji funkcija yra lygtis, kuri yra y = N (x)/D (x), kur N ir D yra daugianariai. Bandymas nubraižyti tikslią grafiką ranka gali būti išsami daugelio svarbiausių aukštųjų mokyklų matematikos temų apžvalga, pradedant pagrindine algebra ir baigiant diferenciniu skaičiavimu. Apsvarstykite šį pavyzdį: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Žingsniai
Žingsnis 1. Raskite y perėmimą
Tiesiog nustatykite x = 0. Viskas, išskyrus pastoviuosius terminus, išnyksta, paliekant y = 5/2. Tai išreiškiant kaip koordinačių porą (0, 5/2) yra grafiko taškas. Nubraižykite tą tašką.
Žingsnis 2. Raskite horizontalų asimptotą
Ilgai padalinkite vardiklį į skaitiklį, kad nustatytumėte y elgesį didelėms absoliučioms x reikšmėms. Šiame pavyzdyje padalijimas rodo, kad y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Esant didelėms teigiamoms ar neigiamoms x reikšmėms, 17/(8 x + 4) artėja prie nulio, o grafikas apytiksliai lygus y = (1/2) x - (7/4). Naudodami punktyrinę arba lengvai nubrėžtą liniją, nubrėžkite šią liniją.
- Jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, padalijimo nėra, o asimptotas yra y = 0.
- Jei deg (N) = deg (D), asimptotas yra horizontali linija pagal pagrindinių koeficientų santykį.
- Jei deg (N) = deg (D) + 1, asimptotas yra tiesė, kurios nuolydis yra pirmaujančių koeficientų santykis.
- Jei deg (N)> deg (D) + 1, tada didelėms | x |, y greitai pereina į teigiamą ar neigiamą begalybę kaip kvadratinis, kubinis ar aukštesnio laipsnio polinomas. Šiuo atveju tikriausiai neverta tiksliai grafikuoti padalijimo koeficiento.
Žingsnis 3. Raskite nulius
Racionalioji funkcija turi nulį, kai jo skaitiklis yra nulis, todėl nustatykite N (x) = 0. Pavyzdyje 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Šio kvadrato diskriminantas yra b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36-40 = -4. Kadangi diskriminantas yra neigiamas, N (x), taigi ir f (x), neturi tikrų šaknų. Grafikas niekada nekerta x ašies. Jei buvo rasti nuliai, pridėkite tuos taškus prie diagramos.
Žingsnis 4. Raskite vertikalius asimptotus
Vertikalus asimptotas atsiranda, kai vardiklis lygus nuliui. Nustačius 4 x + 2 = 0, gaunama vertikali linija x = -1/2. Nubrėžkite kiekvieną vertikalų asimptotą šviesia arba punktyrine linija. Jei dėl kokios nors x reikšmės ir N (x) = 0, ir D (x) = 0, gali būti arba nebūti vertikalaus asimptoto. Tai retai, tačiau peržiūrėkite patarimus, kaip elgtis, jei taip atsitiks.
Žingsnis 5. 2 žingsnyje peržiūrėkite likusią padalijimo dalį
Kada jis teigiamas, neigiamas ar nulis? Pavyzdyje likusios dalies skaitiklis yra 17, kuris visada yra teigiamas. Vardiklis, 4 x + 2, yra teigiamas vertikalios asimptotos dešinėje ir neigiamas kairėje. Tai reiškia, kad grafikas artėja prie linijinio asimptoto iš aukščiau pateiktų didelių teigiamų x reikšmių, o iš apačios - prie didelių neigiamų x reikšmių. Kadangi 17/(8 x + 4) niekada negali būti nulis, šis grafikas niekada nesikerta tiesės y = (1/2) x - (7/4). Šiuo metu nieko prie grafiko nepridėkite, tačiau atkreipkite dėmesį į šias išvadas vėliau.
Žingsnis 6. Raskite vietinį kraštutinumą
Vietinis ekstremumas gali atsirasti, kai N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Pavyzdyje N '(x) = 4 x - 6 ir D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Išplečiant, derinant terminus ir padalijant iš 4 lapų x 2 + x - 4 = 0. Kvadratinė formulė rodo šaknis netoli x = 3/2 ir x = -5/2. (Jie skiriasi maždaug 0,06 nuo tikslių verčių, tačiau mūsų diagrama nebus pakankamai tiksli, kad nerimautumėte dėl tokio išsamumo lygio. Pasirinkus tinkamą racionalų aproksimaciją, bus lengviau atlikti kitą veiksmą.)
Žingsnis 7. Raskite kiekvieno vietinio ekstremumo y reikšmes
Prijunkite ankstesnio žingsnio x reikšmes atgal į pradinę racionaliąją funkciją, kad surastumėte atitinkamas y reikšmes. Pavyzdyje f (3/2) = 1/16 ir f (-5/2) = -65/16. Pridėkite šiuos taškus (3/2, 1/16) ir (-5/2, -65/16) prie grafiko. Kadangi apytiksliai apskaičiavome ankstesniame žingsnyje, tai nėra tikslūs minimumai ir maksimumai, tačiau tikriausiai yra artimi. (Mes žinome, kad (3/2, 1/16) yra labai arti vietinio minimumo. Nuo 3 veiksmo žinome, kad y visada yra teigiamas, kai x> -1/2, ir mes nustatėme 1/16 reikšmę, taigi bent jau šiuo atveju klaida tikriausiai yra mažesnė už linijos storį.)
Žingsnis 8. Sujunkite taškus ir sklandžiai išplėskite grafiką nuo žinomų taškų iki asimptotų, stengdamiesi artėti prie jų teisinga kryptimi
Saugokitės, kad x -ašis nebūtų kertama, išskyrus taškus, kurie jau buvo rasti 3 žingsnyje. Negalima kirsti horizontalaus ar tiesinio asimptoto, išskyrus taškus, kurie jau buvo rasti 5 žingsnyje. kraštutinumas, nustatytas ankstesniame žingsnyje.
Vaizdo įrašas - naudojant šią paslaugą kai kuri informacija gali būti bendrinama su „YouTube“
Patarimai
- Kai kurie iš šių žingsnių gali apimti aukšto laipsnio polinomo sprendimą. Jei nerandate tikslių sprendimų naudodami faktorizavimą, formules ar kitas priemones, įvertinkite sprendimus naudodami skaitmeninius metodus, tokius kaip Niutono metodas.
- Jei atliksite nurodytus veiksmus, paprastai nebūtina naudoti antrųjų išvestinių testų ar panašių galimai sudėtingų metodų, kad nustatytumėte, ar kritinės vertės yra vietiniai maksimumai, vietiniai minimumai, ar nė vienas. Pirmiausia pabandykite panaudoti ankstesnių veiksmų informaciją ir šiek tiek logikos.
- Jei bandote tai padaryti tik su išankstinio skaičiavimo metodais, vietinio kraštutinumo nustatymo veiksmus galite pakeisti apskaičiuodami keletą papildomų (x, y) užsakytų porų tarp kiekvienos asimptotų poros. Arba, jei jums nerūpi, kodėl tai veikia, nėra jokios priežasties, kodėl išankstinio skaičiavimo studentas negali paimti daugianario išvestinės ir išspręsti N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Retais atvejais skaitiklis ir vardiklis gali turėti bendrą nekintamą veiksnį. Jei atliksite veiksmus, tai bus rodoma kaip nulis ir vertikalus asimptotas toje pačioje vietoje. Tai neįmanoma ir tai, kas iš tikrųjų vyksta, yra vienas iš šių dalykų:
- N (N) x yra daugkartinis nei nulis D (x). F (x) grafikas šiuo metu artėja prie nulio, tačiau ten neapibrėžtas. Nurodykite tai atviru apskritimu aplink tašką.
- Nulis N (x) ir nulis D (x) yra vienodi. Grafikas priartėja prie tam tikro nulio taško, kai yra ši x reikšmė, tačiau ten neapibrėžta. Dar kartą nurodykite tai atviru apskritimu.
- N (x) nulis yra mažesnis, nei nulis D (x). Čia yra vertikalus asimptotas.
