Kaip nubraižyti kvadratinę lygtį: 10 žingsnių (su paveikslėliais)

2024 Autorius: Robert Blare | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-02-02 02:07

Grafikuoti kvadratinės formos lygtys kirvis² + bx + c arba a (x - h)² + k duoti lygią U formos arba atvirkštinę U formos kreivę, vadinamą paraboliu. Kvadratinės lygties nubraižymas yra jos viršūnės, krypties ir dažnai x ir y pjūvių paieškos dalykas. Santykinai paprastų kvadratinių lygčių atveju taip pat gali pakakti prijungti x reikšmių diapazoną ir pagal gautus taškus nubraižyti kreivę. Norėdami pradėti, žiūrėkite 1 veiksmą.

Žingsniai

1 žingsnis. Nustatykite, kokią kvadratinės lygties formą turite

Kvadratinė lygtis gali būti parašyta trimis skirtingomis formomis: standartine forma, viršūnės forma ir kvadratine forma. Kvadratinei lygčiai grafikuoti galite naudoti bet kurią formą; kiekvieno grafikas šiek tiek skiriasi. Jei atliekate namų darbų užduotį, dažniausiai ją gausite viena iš šių dviejų formų - kitaip tariant, negalėsite pasirinkti, todėl geriausia suprasti abi. Dvi kvadratinės lygties formos yra šios:

• Standartinė forma.

  Šioje formoje kvadratinė lygtis užrašoma taip: f (x) = ax² + bx + c, kur a, b ir c yra realūs skaičiai, o a nėra lygus nuliui.

  Pavyzdžiui, dvi standartinės formos kvadratinės lygtys yra f (x) = x² + 2x + 1 ir f (x) = 9x² + 10x -8.

• Viršūnės forma.

  Šioje formoje kvadratinė lygtis užrašoma taip: f (x) = a (x - h)² + k kur a, h ir k yra realūs skaičiai, o a nėra lygus nuliui. Viršūnės forma taip pavadinta, nes h ir k tiesiogiai suteikia jums jūsų parabolės viršūnę (centrinį tašką) taške (h, k).

  Dvi viršūnių formos lygtys yra f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ir -3 (x - 5)² + 1

• Norėdami nubrėžti bet kurios iš šių tipų lygčių grafiką, pirmiausia turime rasti parabolės viršūnę, kuri yra centrinis taškas (h, k) kreivės „viršūnėje“. Standartinės formos viršūnės koordinatės pateikiamos: h = -b/2a ir k = f (h), o viršūnės formoje h ir k nurodytos lygtyje.

Žingsnis 2. Apibrėžkite savo kintamuosius

Kad būtų galima išspręsti kvadratinę problemą, paprastai reikia apibrėžti kintamuosius a, b ir c (arba a, h ir k). Vidutinė algebros problema suteiks jums kvadratinę lygtį su užpildytais kintamaisiais, paprastai standartine, bet kartais ir viršūnės forma.

• Pavyzdžiui, standartinės formos lygtis f (x) = 2x² + 16x + 39, turime a = 2, b = 16 ir c = 39.
• Viršūnės formos lygtis f (x) = 4 (x - 5)² + 12, turime a = 4, h = 5 ir k = 12.

Žingsnis 3. Apskaičiuokite h

Viršūnių formų lygtyse jūsų h reikšmė jau pateikta, tačiau standartinės formos lygtyse ji turi būti apskaičiuota. Atminkite, kad standartinės formos lygtims h = -b/2a.

• Mūsų standartinės formos pavyzdyje (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Sprendžiant, randame, kad h = - 4.
• Mūsų viršūnės formos pavyzdyje (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mes žinome h = 5, neatlikdami matematikos.

Žingsnis 4. Apskaičiuokite k

Kaip ir h, k jau žinomas viršūnių formų lygtyse. Standartinės formos lygtims atminkite, kad k = f (h). Kitaip tariant, galite rasti k, pakeisdami kiekvieną x lygtį savo lygtyje reikšme, kurią ką tik radote h.

• Standartinės formos pavyzdyje nustatėme, kad h = -4. Norėdami rasti k, mes išsprendžiame savo lygtį su savo reikšme h, pakeisdami x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    7 žingsnis.

• Mūsų viršūnių formos pavyzdyje mes vėl žinome k reikšmę (kuri yra 12), nereikia atlikti jokių matematinių veiksmų.

Žingsnis 5. Nubraižykite savo viršūnę

Jūsų parabolės viršūnė bus taškas (h, k) - h nurodo x koordinatę, o k nurodo y koordinatę. Viršūnė yra pagrindinis jūsų parabolės taškas - arba „U“apačia, arba apverstos „U“viršuje. Viršūnės pažinimas yra esminė tikslios parabolės grafiko dalis - dažnai mokykliniuose darbuose viršūnės nurodymas bus būtina klausimo dalis.

• Mūsų standartinės formos pavyzdyje mūsų viršūnė bus (-4, 7). Taigi, mūsų parabolė bus 4 erdvėse kairėje nuo 0 ir 7 erdvėmis aukščiau (0, 0). Turėtume nubrėžti šį tašką savo grafike, būtinai pažymėdami koordinates.
• Mūsų viršūnės formos pavyzdyje mūsų viršūnė yra (5, 12). Turėtume nubrėžti tašką 5 tarpai dešinėje ir 12 tarpų aukščiau (0, 0).

Žingsnis 6. Nubrėžkite parabolės ašį (neprivaloma)

Parabolės simetrijos ašis yra linija, einanti per jos vidurį, kuri puikiai padalija ją į pusę. Visoje šioje ašyje kairioji parabolės pusė atspindės dešinę pusę. Formos kirvio kvadratams² + bx + c arba a (x - h)² + k, ašis yra tiesė, lygiagreti y ašiai (kitaip tariant, visiškai vertikali) ir einanti per viršūnę.

Mūsų standartinės formos pavyzdyje ašis yra tiesė, lygiagreti y ašiai ir einanti per tašką (-4, 7). Nors tai nėra pačios parabolės dalis, lengvas šios linijos žymėjimas grafike galiausiai padės jums pamatyti, kaip parabolė kreivės simetriškai

Žingsnis 7. Raskite atidarymo kryptį

Išsiaiškinę parabolės viršūnę ir ašį, toliau turime žinoti, ar parabolė atsidaro aukštyn, ar žemyn. Laimei, tai lengva. Jei „a“teigiamas, parabolė atsidarys aukštyn, o jei „a“-neigiama, parabolė atsidarys žemyn (t. Y. Ji bus apversta aukštyn kojomis).

• Mūsų standartinės formos pavyzdys (f (x) = 2x² + 16x + 39), žinome, kad turime parabolę, atsiveriančią aukštyn, nes mūsų lygtyje a = 2 (teigiamas).
• Mūsų viršūnių formos pavyzdys (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mes žinome, kad turime ir parabolę, atsiveriančią aukštyn, nes a = 4 (teigiamas).

Žingsnis 8. Jei reikia, suraskite ir nubraižykite x perėmimus

Dažnai mokykliniuose darbuose jūsų bus paprašyta surasti parabolės x pjūvius (tai yra vienas arba du taškai, kuriuose parabolė susitinka su x ašimi). Net jei jų nerandate, šie du punktai gali būti neįkainojami, norint nubrėžti tikslią parabolę. Tačiau ne visos parabolės turi x-perėmimus. Jei jūsų parabolės viršūnė atsidaro aukštyn ir viršūnė virš x ašies arba jei ji atsiveria žemyn ir turi viršūnę žemiau x ašies, jame nebus jokių x perėmimų. Priešingu atveju išspręskite x perėmimą vienu iš šių būdų:

• Tiesiog nustatykite f (x) = 0 ir išspręskite lygtį. Šis metodas gali būti naudojamas paprastoms kvadratinėms lygtims, ypač viršūnių pavidalu, tačiau sudėtingesnėms bus labai sunku. Žemiau rasite pavyzdį

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ir 13 yra parabolės x pjūviai.

• Faktorizuokite savo lygtį. Kai kurios lygtys kirvyje² + bx + c formą galima lengvai įtraukti į formą (dx + e) (fx + g), kur dx × fx = kirvis², (dx × g + fx × e) = bx ir e × g = c. Šiuo atveju jūsų x perėmimai yra x reikšmės, dėl kurių skliausteliuose yra bet kuris terminas = 0. Pavyzdžiui:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Šiuo atveju vienintelis jūsų perimtas x yra -1, nes nustačius x lygų -1, bet kuris iš skliausteliuose esančių terminų bus lygus 0.

• Naudokite kvadratinę formulę. Jei negalite lengvai išspręsti x perėmimų ar koeficiento savo lygties, naudokite specialią lygtį, vadinamą kvadratine formule, skirtą šiam tikslui. Jei dar ne, įveskite lygtį į formos kirvį² + bx + c, tada įjunkite a, b ir c į formulę x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Atminkite, kad tai dažnai duoda du atsakymus į x, o tai gerai - tai tik reiškia, kad jūsų parabolėje yra du x perėmimai. Žemiau rasite pavyzdį:

  • -5 kartus² + 1x + 10 įtraukiami į kvadratinę formulę taip:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) ir (-15,18/-10). Parabolės x pjūviai yra maždaug x = - 1.318 ir 1.518
  • Mūsų ankstesnis standartinės formos pavyzdys, 2x² + 16x + 39 įjungiami į kvadratinę formulę taip:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Kadangi rasti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį neįmanoma, mes tai žinome nėra x perėmimų egzistuoja būtent ši parabolė.

9. Jei reikia, suraskite ir nubrėžkite y perėmimą

Nors dažnai nebūtina rasti lygties y pjūvio (taško, kuriame parabolė eina per y ašį), galiausiai jums gali prireikti, ypač jei esate mokykloje. Šis procesas yra gana lengvas - tiesiog nustatykite x = 0, tada išspręskite f (x) arba y lygtį, kuri suteiks jums y reikšmę, pagal kurią jūsų parabolė eina per y ašį. Skirtingai nei x perėmimai, standartinės parabolės gali turėti tik vieną y perėmimą. Pastaba - standartinės formos lygtims y pjūvis yra y = c.

• Pavyzdžiui, mes žinome savo kvadratinę lygtį 2x² + 16x + 39 turi y perėmimą y = 39, tačiau jį taip pat galima rasti taip:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolės y pjūvis yra ties y = 39.

    Kaip minėta aukščiau, y perėmimas yra y = c.

• Mūsų viršūnės formos lygtis 4 (x - 5)² + 12 yra y perėmimas, kurį galima rasti taip:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolės y pjūvis yra ties y = 112.

10. Jei reikia, nubraižykite papildomus taškus, tada grafikuokite

Dabar turėtumėte turėti viršūnę, kryptį, x perėmimą (-us) ir, galbūt, y perėmimą savo lygčiai. Šiuo metu galite arba pabandyti piešti savo parabolę naudodami gaires, kurias turite kaip gaires, arba galite rasti daugiau taškų, kad „užpildytumėte“savo parabolę, kad jūsų nubrėžta kreivė būtų tikslesnė. Lengviausias būdas tai padaryti yra tiesiog prijungti kelias x reikšmes abiejose viršūnės pusėse, tada nubrėžti šiuos taškus naudojant gautas y reikšmes. Dažnai mokytojai reikalauja, kad prieš piešdami parabolę surinktumėte tam tikrą taškų skaičių.

• Dar kartą pažiūrėkime į lygtį x² + 2x + 1. Mes jau žinome, kad jo vienintelis x perėmimas yra x = -1. Kadangi jis paliečia x pjūvį tik viename taške, galime daryti išvadą, kad jo viršūnė yra jo x pjūvis, o tai reiškia, kad jo viršūnė yra (-1, 0). Mes iš tikrųjų turime tik vieną tašką šiai parabolei - to beveik nepakanka, kad nupieštume gerą parabolę. Suraskime dar keletą, kad užtikrintume tikslią grafiko sudarymą.

  • Raskime šių x reikšmių y reikšmes: 0, 1, -2 ir -3.
  • 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Mūsų taškas yra (0, 1).

  • 1 atveju: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Mūsų mintis yra (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Mūsų taškas yra (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Mūsų mintis yra (-3, 4).

  • Nubrėžkite šiuos taškus grafike ir nubrėžkite U formos kreivę. Atminkite, kad parabolė yra visiškai simetriška - kai jūsų taškai vienoje parabolės pusėje yra sveikieji skaičiai, paprastai galite sutaupyti šiek tiek darbo, tiesiog atspindėdami tam tikrą tašką parabolės simetrijos ašyje, kad surastumėte atitinkamą tašką kitoje pusėje parabolės.

Vaizdo įrašas - naudojant šią paslaugą kai kuri informacija gali būti bendrinama su „YouTube“

Patarimai

• Atkreipkite dėmesį, kad f (x) = ašis² + bx + c, jei b arba c lygus nuliui, šie skaičiai išnyksta. Pavyzdžiui, 12 kartų² + 0x + 6 tampa 12x² + 6, nes 0x yra 0.
• Apvalinkite skaičius arba naudokite trupmenas, kaip liepia jūsų algebros mokytojas. Tai padės tinkamai nubraižyti kvadratines lygtis.